机器学习-聚类问题

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分类（class）与聚类（cluster）不同，分类是有监督学习模型，聚类属于无监督学习模型。聚类讲究使用一些算法把样本划分为n个群落。一般情况下，这种算法都需要计算欧氏距离。

概述

在输出未知的前提下，仅根据已知的输入寻找样本之间的内在联系，据此将输入样本划分为不同的族群。

量化相似度

欧式距离

$P(x1,y1)$
$Q(x2,y2)$
$|PQ|=\sqrt{(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2}$

$P(x1,y1,z1)$
$Q(x2,y2,z2)$
$|PQ|=\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2}$

$P(x1,y1,z1,…)$
$Q(x2,y2,z2,…)$

张三(1.7,60)
李四(1.75,200)
王五(2.5,65)
赵六(1.72,61)
两个N维样本之间的欧氏距离越小，就越相似，反而反之。

用两个样本对应特征值之差的平方和之平方根，即欧氏距离，来表示这两个样本的相似性。

K均值聚类

第一步：随机选择k个样本作为k个聚类的中心，计算每个样本到各个聚类中心的欧氏距离，将该样本分配到与之距离最近的聚类中心所在的类别中。

第二步：根据第一步所得到的聚类划分，分别计算每个聚类的几何中心，将几何中心作为新的聚类中心，重复第一步，直到计算所得几何中心与聚类中心重合或接近重合为止。

注意：

  1. 聚类数k必须事先已知。借助某些评估指标，优选最好的聚类数。
  2. 聚类中心的初始选择会影响到最终聚类划分的结果。初始中心尽量选择距离较远的样本。

K均值算法相关API：

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import sklearn.cluster as sc
# n_clusters: 聚类数
model = sc.KMeans(n_clusters=4)
# 不断调整聚类中心，知道最终聚类中心稳定则聚类完成
model.fit(x)
# 获取训练结果的聚类中心
centers = model.cluster_centers_

案例：加载multiple3.txt，基于K均值算法完成样本的聚类。

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import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp
x = []
with open('../data/multiple3.txt') as f:
	for line in f.readlines():
		data = [float(substr) for substr
			in line.split(',')]
		x.append(data)
x = np.array(x)
# K均值聚类器
model = sc.KMeans(n_clusters=4)
model.fit(x)
centers = model.cluster_centers_ # 聚类中心
l, r, h = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1, 0.005
b, t, v = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1, 0.005
grid_x = np.meshgrid(np.arange(l, r, h),
	np.arange(b, t, v))
flat_x = np.c_[grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel()]
flat_y = model.predict(flat_x)
grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape)
mp.figure('K-Means', facecolor='lightgray')
mp.title('K-Means', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap='gray')
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=model.labels_,
	cmap='brg', s=80)
mp.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1],
	marker='+', c='gold', s=1000, linewidth=1)
mp.show()

图像预处理之颜色量化

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import numpy as np
import scipy.misc as sm
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp
image = sm.imread('../data/lily.jpg',
	True).astype(np.uint8)
x = image.reshape(-1, 1)
model = sc.KMeans(n_clusters=4)
model.fit(x)
y = model.labels_
centers = model.cluster_centers_.squeeze()
z = centers[y]
image4 = z.reshape(image.shape)
model = sc.KMeans(n_clusters=3)
model.fit(x)
y = model.labels_
centers = model.cluster_centers_.squeeze()
z = centers[y]
image3 = z.reshape(image.shape)
model = sc.KMeans(n_clusters=2)
model.fit(x)
y = model.labels_
centers = model.cluster_centers_.squeeze()
z = centers[y]
image2 = z.reshape(image.shape)
mp.figure('Image Quantization',
	facecolor='lightgray')
mp.subplot(221)
mp.title('Original', fontsize=16)
mp.axis('off')
mp.imshow(image, cmap='gray')
mp.subplot(222)
mp.title('4 Colors', fontsize=16)
mp.axis('off')
mp.imshow(image4, cmap='gray')
mp.subplot(223)
mp.title('3 Colors', fontsize=16)
mp.axis('off')
mp.imshow(image3, cmap='gray')
mp.subplot(224)
mp.title('2 Colors', fontsize=16)
mp.axis('off')
mp.imshow(image2, cmap='gray')
mp.tight_layout()
mp.show()

均值漂移聚类

将每个聚类中的样本看作是服从某种概率模型的随机分布，利用已知样本的统计直方图，拟合某个特定的概率模型，以概率密度的峰值点作为相应聚类的中心。然后，根据每个样本与聚类中心的距离，则其近者而从之，完成聚类划分。

1)无需事先给定聚类数
2)样本本身从业务上服从某种概率规律

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import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp
x = []
with open('../data/multiple3.txt') as f:
	for line in f.readlines():
		data = [float(substr) for substr
			in line.split(',')]
		x.append(data)
x = np.array(x)
# 均值漂移聚类器
bw = sc.estimate_bandwidth(x,
	n_samples=len(x), quantile=0.1)
model = sc.MeanShift(bandwidth=bw,
	bin_seeding=True)
model.fit(x)
centers = model.cluster_centers_ # 聚类中心
l, r, h = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1, 0.005
b, t, v = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1, 0.005
grid_x = np.meshgrid(np.arange(l, r, h),
	np.arange(b, t, v))
flat_x = np.c_[grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel()]
flat_y = model.predict(flat_x)
grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape)
mp.figure('Mean Shift', facecolor='lightgray')
mp.title('Mean Shift', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap='gray')
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=model.labels_,
	cmap='brg', s=80)
mp.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1],
	marker='+', c='gold', s=1000, linewidth=1)
mp.show()

凝聚层次聚类

首先假定每个样本都是一个独立的聚类，统计总聚类数，如果大于所要求的聚类数，就从每个样本出发，连接离它欧氏距离最近的样本，在扩大聚类的规模的同时减少聚类数，重复以上过程，直到总聚类数满足要求为止。

1)没有所谓聚类中心，适用于中心特性不明显的样本
2)无需事先给定聚类中心
3)在选择被凝聚样本的过程中，还可以分别按照距离优先和连续性优先两种方式选连接的样本。

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import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as mp
x = []
with open('../data/multiple3.txt') as f:
	for line in f.readlines():
		data = [float(substr) for substr
			in line.split(',')]
		x.append(data)
x = np.array(x)
# 凝聚层次聚类器
model = sc.AgglomerativeClustering(n_clusters=4)
model.fit(x)
mp.figure('Agglomerative', facecolor='lightgray')
mp.title('Agglomerative', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=model.labels_,
	cmap='brg', s=80)
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import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import sklearn.neighbors as sn
import matplotlib.pyplot as mp
n_samples=500
t = 2.5 * np.pi * (1 + 2 * np.random.rand(
	n_samples, 1))
x = 0.05 * t * np.cos(t)
y = 0.05 * t * np.sin(t)
n = 0.05 * np.random.rand(n_samples, 2)
x = np.hstack((x, y)) + n
# 无连续性凝聚层次聚类
model = sc.AgglomerativeClustering(
	linkage='average', n_clusters=3)
y1 = model.fit_predict(x)
# 有连续性凝聚层次聚类
nb = sn.kneighbors_graph(x, 10,
	include_self=False)
model = sc.AgglomerativeClustering(
	linkage='average', n_clusters=3,
	connectivity=nb)
y2 = model.fit_predict(x)
mp.figure('Nonconnectivity',
	facecolor='lightgray')
mp.title('Nonconnectivity', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.grid(linestyle=':')
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=y1, cmap='brg',
	s=80, alpha=0.5)
mp.figure('Connectivity',
	facecolor='lightgray')
mp.title('Connectivity', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.grid(linestyle=':')
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=y2, cmap='brg',
	s=80, alpha=0.5)
mp.show()

聚类的评价指标

内密外疏
对于每个样本计算内部距离a和外部距离b，得到该样本的轮廓系数s=(b-a)/max(a, b)，对所有样本的轮廓系数取平均值，即为整个样本空间的轮廓系数S=ave(s)。
内部距离a: 一个样本与同聚类其它样本的平均欧氏距离
外部距离b: 一个样本与离其聚类最近的另一个聚类中所有样本的平均欧氏距离。

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import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import sklearn.metrics as sm
import matplotlib.pyplot as mp
x = []
with open('../data/multiple3.txt') as f:
	for line in f.readlines():
		data = [float(substr) for substr
			in line.split(',')]
		x.append(data)
x = np.array(x)
# K均值聚类器
model = sc.KMeans(n_clusters=4)
model.fit(x)
centers = model.cluster_centers_ # 聚类中心
# 轮廓系数得分
s = sm.silhouette_score(x, model.labels_,
	sample_size=len(x), metric='euclidean')
print(s)
l, r, h = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1, 0.005
b, t, v = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1, 0.005
grid_x = np.meshgrid(np.arange(l, r, h),
	np.arange(b, t, v))
flat_x = np.c_[grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel()]
flat_y = model.predict(flat_x)
grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape)
mp.figure('K-Means', facecolor='lightgray')
mp.title('K-Means', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap='gray')
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=model.labels_,
	cmap='brg', s=80)
mp.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1],
	marker='+', c='gold', s=1000, linewidth=1)
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噪声密度聚类

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import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import sklearn.metrics as sm
import matplotlib.pyplot as mp
x = []
with open('../data/perf.txt', 'r') as f:
	for line in f.readlines():
		data = [float(substr) for substr
			in line.split(',')]
		x.append(data)
x = np.array(x)
epsilons, scores, models = \
    np.linspace(0.3, 1.2, 10), [], []
for epsilon in epsilons:
	# DBSCAN(噪声密度)聚类器
	model = sc.DBSCAN(eps=epsilon,
		min_samples=5)
	model.fit(x)
	score = sm.silhouette_score(
		x, model.labels_, sample_size=len(x),
		metric='euclidean')
	scores.append(score)
	models.append(model)
scores = np.array(scores)
best_index = scores.argmax()
best_epsilon = epsilons[best_index]
print(best_epsilon)
best_score = scores[best_index]
print(best_score)
best_model = models[best_index]
pred_y = best_model.labels_
core_mask = np.zeros(len(x), dtype=bool)
core_mask[
	best_model.core_sample_indices_] = True
offset_mask = pred_y == -1
periphery_mask = ~(core_mask | offset_mask)
mp.figure('DBSCAN', facecolor='lightgray')
mp.title('DBSCAN', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.grid(linestyle=':')
labels = set(pred_y)
cs = mp.get_cmap('brg', len(labels))(
	range(len(labels)))
mp.scatter(x[core_mask][:, 0],
	x[core_mask][:, 1],
	c=cs[pred_y[core_mask]],
	s=80, label='Core')
mp.scatter(x[periphery_mask][:, 0],
	x[periphery_mask][:, 1],
	edgecolor=cs[pred_y[periphery_mask]],
	facecolor='none',
	s=80, label='Periphery')
mp.scatter(x[offset_mask][:, 0],
	x[offset_mask][:, 1],
	c=cs[pred_y[offset_mask]],
	marker='x',
	s=80, label='Offset')
mp.legend()
mp.show()

最近邻

代码：knnc.py、knnr.py

回归：线性、岭、多项式、决策树、SVM、KNN
R2得分
分类：逻辑、朴素贝叶斯、决策树、SVM、KNN
F1得分
聚类：K均值、均值漂移、凝聚层次、DBSCAN
轮廓系数